1，标准方程
以点$ (a,b) $为圆心，$ r $为半径的圆，标准方程为
$$ \large (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $$2，参数方程
以点$ (a,b) $为圆心，$ r $为半径的圆，参数方程为
$$ \large \left\{ \begin{align*} & x=a+r\cos\theta\\ & y=b+r\sin\theta \end{align*} \right. $$3，一般方程
在平面直角坐标系中，圆的一般方程为
$$ \large x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$将该方程配方得
$$ \large \left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4} $$- 当$ D^2+E^2-4F>0 $时，图形为以$ (-D/2,-E/2) $为圆心，$ \sqrt{D^2+E^2-4F}/2 $为半径的圆
- 当$ D^2+E^2-4F=0 $时，图形为一点$ (-D/2,-E/2) $，或称点圆
- 当$ D^2+E^2-4F<0 $时，图形为空集，或称虚圆
4，直径式方程
直径的两个端点坐标分别为$ (x_1,y_1) $和$ (x_2,y_2) $，该圆的方程为
$$ \large (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0 $$5，三点式方程
平面直角坐标系内，过不共线的三点$ (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) $的圆的方程为
$$ \large \begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1\\[2mm] x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\[2mm] x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\[2mm] x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0 $$其中
$$ \large \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\[2mm] x_2 & y_2 & 1\\[2mm] x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \neq 0 $$6，极坐标方程
由于圆心位置的不同，其极坐标方程有三种形式
- 圆心在极点，半径为$ r $的圆，极坐标方程为$ \rho=r $或$ \rho=-r $
- 圆心在$ (r,0) $，半径为$ r $的圆，极坐标方程为$ \rho=2r\cos\theta $
- 圆心在$ (\rho_0,\theta_0) $，半径为$ r $的圆，极坐标方程为 $$ \large \rho^2-2\rho\rho_0\cos(\theta-\theta_0)+\rho_0^2=r^2 $$